综合练习题与详细解答
本章综合练习题涵盖了函数概念、图像绘制、交点问题、因式定理应用等核心内容。每道题都配有详细提示和完整解答。
a) 已知函数 \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)，求 \(f(2)\) 和 \(f(-1)\) 的值。（4分）
b) 求函数 \(g(x) = x^2 - 4x + 3\) 的零点。（4分）
c) 判断函数 \(h(x) = 3x^3 - 2x\) 是奇函数还是偶函数，并说明理由。（2分）
对于a)，直接代入计算；对于b)，解方程 \(g(x) = 0\)；对于c)，检验 \(h(-x)\) 与 \(h(x)\) 的关系。
a) \(f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3\)
\(f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6\)
b) 解 \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
\((x - 1)(x - 3) = 0\)
所以零点为 \(x = 1\) 和 \(x = 3\)
c) \(h(-x) = 3(-x)^3 - 2(-x) = -3x^3 + 2x = -(3x^3 - 2x) = -h(x)\)
因为 \(h(-x) = -h(x)\)，所以 \(h(x)\) 是奇函数。
a) 求过点 \((2, 3)\) 且斜率为 \(-2\) 的直线方程。（3分）
b) 求直线 \(y = 3x - 2\) 与 \(y = -x + 6\) 的交点坐标。（4分）
c) 判断直线 \(2x - 3y = 6\) 与 \(4x - 6y = 12\) 的关系（平行、垂直或相交）。（3分）
对于a)，使用点斜式；对于b)，解方程组；对于c)，比较斜率。
a) 使用点斜式：\(y - 3 = -2(x - 2)\)
\(y = -2x + 4 + 3 = -2x + 7\)
b) 解方程组：
\(3x - 2 = -x + 6\)
\(4x = 8\)，所以 \(x = 2\)
\(y = 3(2) - 2 = 4\)
交点为 \((2, 4)\)
c) 第一条直线：\(y = \frac{2}{3}x - 2\)，斜率 \(m_1 = \frac{2}{3}\)
第二条直线：\(y = \frac{2}{3}x - 2\)，斜率 \(m_2 = \frac{2}{3}\)
因为 \(m_1 = m_2\)，所以两直线平行（实际上是同一条直线）。
a) 写出圆心在 \((3, -2)\)，半径为5的圆的方程。（2分）
b) 判断点 \((1, 1)\) 是否在圆 \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\) 上。（3分）
c) 求圆 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) 的圆心和半径。（5分）
对于a)，使用圆的标准方程；对于b)，代入检验；对于c)，配方化为标准形式。
a) 圆的标准方程：\((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\)
即 \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)
b) 将 \((1, 1)\) 代入：\((1 - 2)^2 + (1 + 1)^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)
因为 \(5 \neq 9\)，所以点 \((1, 1)\) 不在圆上。
c) 配方：
\(x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12\)
\((x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9\)
\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\)
圆心为 \((2, -3)\)，半径为5。
a) 求直线 \(y = 2x + 1\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 的交点坐标。（6分）
b) 证明直线 \(y = x + 3\) 与圆 \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2\) 相切。（4分）
对于a)，联立方程求解；对于b)，证明判别式为零或圆心到直线距离等于半径。
a) 将 \(y = 2x + 1\) 代入 \(x^2 + y^2 = 25\)：
\(x^2 + (2x + 1)^2 = 25\)
\(x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 25\)
\(5x^2 + 4x - 24 = 0\)
解得：\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 480}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{496}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{31}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{5}\)
对应的 \(y\) 值：\(y = 2x + 1\)
交点为 \((\frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5}, \frac{1 + 4\sqrt{31}}{5})\) 和 \((\frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5}, \frac{1 - 4\sqrt{31}}{5})\)
b) 圆心 \((1, 2)\) 到直线 \(x - y + 3 = 0\) 的距离：
\(d = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
圆的半径 \(r = \sqrt{2}\)
因为 \(d = r\)，所以直线与圆相切。
a) 已知 \((x - 2)\) 是多项式 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 4\) 的因式，求 \(k\) 的值。（3分）
b) 完全因式分解 \(f(x)\)。（4分）
c) 求方程 \(f(x) = 0\) 的所有实根。（3分）
对于a)，使用因式定理；对于b)，进行长除法后继续分解；对于c)，解因式分解后的方程。
a) 根据因式定理：\(f(2) = 0\)
\(2^3 - 3(2)^2 + k(2) - 4 = 0\)
\(8 - 12 + 2k - 4 = 0\)
\(2k - 8 = 0\)，所以 \(k = 4\)
b) \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4\)
用长除法：\(x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = (x - 2)(x^2 - x + 2)\)
检验 \(x^2 - x + 2\)：判别式 \(\Delta = 1 - 8 = -7 < 0\)，不能再分解
所以 \(f(x) = (x - 2)(x^2 - x + 2)\)
c) 解 \(f(x) = 0\)：
\(x - 2 = 0\) 得 \(x = 2\)
\(x^2 - x + 2 = 0\) 无实根（\(\Delta < 0\)）
所以实根只有 \(x = 2\)
对于函数 \(f(x) = x^2 - 6x + 8\)：
a) 求顶点的坐标。（3分）
b) 求对称轴的方程。（2分）
c) 求与坐标轴的交点。（4分）
d) 画出函数的草图。（1分）
对于a)，使用顶点公式或配方法；对于b)，对称轴通过顶点；对于c)，分别令 \(x = 0\) 和 \(f(x) = 0\)。
a) 配方：\(f(x) = x^2 - 6x + 8 = (x - 3)^2 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1\)
顶点坐标为 \((3, -1)\)
b) 对称轴方程：\(x = 3\)
c) 与 \(y\) 轴交点：令 \(x = 0\)，\(f(0) = 8\)，交点为 \((0, 8)\)
与 \(x\) 轴交点：令 \(f(x) = 0\)
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\((x - 2)(x - 4) = 0\)
交点为 \((2, 0)\) 和 \((4, 0)\)
d) 草图：开口向上的抛物线，顶点在 \((3, -1)\)，经过 \((0, 8)\)、\((2, 0)\)、\((4, 0)\)
已知圆 \(C\) 的方程为 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)，直线 \(L\) 的方程为 \(y = 2x - 7\)：
a) 求圆 \(C\) 的圆心和半径。（4分）
b) 求直线 \(L\) 与圆 \(C\) 的交点坐标。（6分）
c) 求过交点且与直线 \(L\) 垂直的直线方程。（5分）
对于a)，配方；对于b)，联立方程；对于c)，垂直直线的斜率关系。
a) 配方：\((x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4\)
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)
圆心为 \((3, -2)\)，半径为5
b) 将 \(y = 2x - 7\) 代入圆的方程：
\(x^2 + (2x - 7)^2 - 6x + 4(2x - 7) - 12 = 0\)
\(x^2 + 4x^2 - 28x + 49 - 6x + 8x - 28 - 12 = 0\)
\(5x^2 - 26x + 9 = 0\)
解得：\(x = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 180}}{10} = \frac{26 \pm \sqrt{496}}{10} = \frac{26 \pm 4\sqrt{31}}{10} = \frac{13 \pm 2\sqrt{31}}{5}\)
对应的 \(y\) 值：\(y = 2x - 7\)
交点为 \((\frac{13 + 2\sqrt{31}}{5}, \frac{-9 + 4\sqrt{31}}{5})\) 和 \((\frac{13 - 2\sqrt{31}}{5}, \frac{-9 - 4\sqrt{31}}{5})\)
c) 与 \(L\) 垂直的直线斜率为 \(-\frac{1}{2}\)
过交点 \((\frac{13 + 2\sqrt{31}}{5}, \frac{-9 + 4\sqrt{31}}{5})\) 的直线方程：
\(y - \frac{-9 + 4\sqrt{31}}{5} = -\frac{1}{2}(x - \frac{13 + 2\sqrt{31}}{5})\)
化简得：\(y = -\frac{1}{2}x + \frac{4}{5}\sqrt{31} - \frac{9}{5} + \frac{13}{10} + \frac{\sqrt{31}}{5}\)
\(y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{10} - \frac{9}{5} + \sqrt{31}\)
\(y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \sqrt{31}\)
a) 证明：如果直线 \(y = mx + c\) 与圆 \(x^2 + y^2 = r^2\) 相切，则 \(c^2 = r^2(1 + m^2)\)。（6分）
b) 用此结论求与圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 相切且斜率为3的直线方程。（4分）
对于a)，联立方程，令判别式为零；对于b)，代入公式求 \(c\)。
a) 联立：\(x^2 + (mx + c)^2 = r^2\)
\(x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = r^2\)
\((1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - r^2) = 0\)
相切条件：判别式 \(\Delta = 0\)
\((2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0\)
\(4m^2c^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0\)
\(m^2c^2 - (1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0\)
\(m^2c^2 - c^2 + r^2 - m^2c^2 + m^2r^2 = 0\)
\(-c^2 + r^2 + m^2r^2 = 0\)
\(c^2 = r^2(1 + m^2)\) 得证
b) 已知 \(r = 5\)，\(m = 3\)
\(c^2 = 25(1 + 9) = 250\)
\(c = \pm 5\sqrt{10}\)
切线方程为：\(y = 3x + 5\sqrt{10}\) 和 \(y = 3x - 5\sqrt{10}\)